正常椭球(水准椭球)面上的重力称为正常重力。正常重力值可由正常重力公式计算求得，正常重力值只与纬度有关，与经度无关，其极大值在两极，极小值在赤道。假设地球是一个密度均匀而且光滑的理想椭球体，或是一个密度成层分布的光滑椭球体，在同一层内密度是均匀的、各层的界面也都是共焦旋转椭球面，则球面上各点的重力位或重力值可以根据地球的引力参数、地球长半径、扁度、自转角速度等计算得出，由此计算出的重力值称为正常重力值。正常重力是由意大利数学物理学家卡洛·索米里安在1929年引入的概念，它在大地测量学与地球物理学的研究中常用于对真实地球所产生的重力进行近似。正常重力与真实重力之间的比例约为99.995%。

数学表达

设正常椭球体在其外部空间产生的正常重力位为 \( U \)，则正常重力矢量被定义为该正常重力位的梯度：

\[ \boldsymbol{\伽马发动机} = \nabla U \]

在椭球坐标系 \( (u,\beta ,\lambda ) \) 中，正常重力矢量的三个分量具体表示为：

\[ \gamma_u = \frac{1}{w}\frac{\partial U}{\partial u} \]

\[ \gamma_\beta = \frac{1}{w\sqrt{u^2+E^2}}\frac{\partial U}{\partial \beta} \]

\[ \伽马发动机_\lambda = \frac{1}{\sqrt{u^2+E^2}\cos\beta}\frac{\partial U}{\partial \lambda} = 0 \]

上式中的 \( w = \sqrt{\frac{u^2+E^2\sin^2\beta}{u^2+E^2}} \) 是为简化公式而引入的辅助量，\( E \) 是椭球的半焦距。又因正常重力位 \( U \) 与经度无关，所以正常重力矢量的经度分量为零。

计算公式

正常重力的计算涉及到正常椭球体的几何性质，其确定只需要四个基本参数：椭球的半长轴 \( a \)、几何扁率 \( f \)、赤道上的正常重力值 \( \gamma_e \)，以及地球自转的角速度 \( \omega \)。其他的几何参数可以由上述基本参数确定。例如，椭球的半短轴 \( b = a(1-f) \)，椭球的第一偏心率 \( e = \sqrt{a^2-b^2}/a = 2f-f^2 \)，椭球的第二偏心率 \( e' = \sqrt{a^2-b^2}/b \)。亦有一些坐标系统会选择其他的基本参数，例如GRS80椭球选用的是地心引力常数 \( GM \)、地球动力学形状因子 \( J_2 \)、地球自转角速度 \( \omega \) 和椭球的半长轴 \( a \)，但其他的椭球参数仍能由这些基本参数计算而得。

克莱罗定理

法国数学家克莱罗在其发表于1743年的著作中给出了地球的几何扁率 \( f \) 与重力扁率 \( f^* \) 之间的对应关系，即克莱罗定理。在顾及至扁率的平方项的情况下，该定理可表述为：

\[ f+f^* = \frac{5}{2}\frac{\omega^2b}{\gamma_e}(1+\frac{9}{35}e'^2) \]

重力扁率 \( f^* \) 的定义与几何扁率类似，其由椭球赤道处的重力 \( \gamma_e \) 和椭球极点处的重力 \( \gamma_p \) 决定：

\[ f^* = \frac{\伽马发动机_p - \gamma_e}{\gamma_e} \]

\[ \gamma_e = \frac{GM}{a^2}(1+m+\frac{3}{7}e'^2m) \]

\[ \gamma_p = \frac{GM}{ab}(1-\frac{3}{2}m-\frac{3}{14}e'^2m) \]

其中 \( m = \frac{\omega^2a^2b}{GM} \)，且有 \( \frac{\omega^2b}{\gamma_e} = m+\frac{3}{2}m^2 \)。

正常重力公式

正常重力公式由索米里安在1929年给出，它提供了椭球赤道处的正常重力值和极点处的正常重力值，而椭球面上其他纬度的正常重力则可由此公式计算得到。公式的截断形式为：

\[ \伽马发动机 = \gamma_e(1+f_2\sin^2\varphi + f_4\sin^4\varphi) \]

其中的系数为：

\[ f_2 = -f+\frac{5}{2}m+\frac{1}{2}f^2-\frac{26}{7}fm+\frac{15}{4}m^2 \]

\[ f_4 = -\frac{1}{2}f^2+\frac{5}{2}fm \]

这一公式也可写为：

\[ \gamma = \gamma_e(1+f^*\sin^2\varphi - \frac{1}{4}f_4\sin^4 2\varphi) \]

其中的 \( f^* = f_2 + f_4 \) 为上述提到的重力扁率。正常重力公式还可以闭合形式表达：

\[ \gamma = \gamma_e\frac{1+k\sin^2\varphi}{\sqrt{1-e^2\sin^2\varphi}} \]

其中的系数 \( k \) 为：

\[ k = \frac{b\伽马发动机_p - a\gamma_e}{a\gamma_e} \]

向上延拓公式

在椭球面外部不远处，正常重力 \( \gamma_h \) 可以在其沿法线到椭球面上投影处展开为正常高 \( h \) 的级数。得到正常重力的向上延拓公式为：

\[ \gamma_h = \gamma \left[1-\frac{2}{a}\left(1+f+m-2f\sin^2\varphi\right)h+\frac{3}{a^2}h^2\right] \]

上式的数值形式近似为：

\[ \伽马发动机_h = \gamma - 0.3086h + 0.72 \times 10^{-7}h^2 \]

对策

物理大地测量学中作为正常场源的正常椭球却只定义了长半轴、扁率、赤道重力、角速度及总质量等几何量和表面物理量，其内部密度没有确切的分布，这是物理大地测量本身的理论体系所决定的。因此，要使得物理大地测量与地球物理学的相互交叉，联合探求地球内部结构并解决密度反演中应用重力异常时所隐含的不确定性，首先就必须研究正常重力场源的同源性问题。

正常重力场的同源性问题归结起来应该是，物理大地测量与地球物理分别（结果应具有可比性）或联合用于反演内部密度结构的重力异常，其所对应的正常重力应产生于同一具有确切物理意义的正常场源（或理论模型）；而由外部重力场通过不同方法得到的内部密度异常所对应的正常密度应是同一的。

理论上，研究重力场的同源性问题有两种途径可循：大地重力学扰动边值（如重力异常、重力扰动，扰动位等）不变，构制相应的正常场源。这须克服许多数学和物理上的困难。直接选用或改进已有的地球物理学模型代替参考椭球，而将传统的大地重力学扰动边值加以改造。这将涉及到整个传统的反演体系的调整。

将物理大地测量学的正常场源与地球物理地球模型统一起来，是物理大地测量研究向地球内部拓展所面临的主要问题之一，也是物理大地测量与地球物理学科交叉并对地球内部密度进行综合解释的真正基础。由于这一问题涉及到学科界线及其传统理论框架的突破，以及数学求解与物理解释上的诸多困难，真正融合两学科的物理实际所建立的有效模型尚未发现。本文所作研究即是对这一问题的初步探索，与许多为正常椭球赋值问题的不同之处，在于应用了地球物理学中PREM模型的密度分布，使得联合反演尤其是物理大地测量学反演得到的地球内部密度解释有了较为明确的物理意义。事实上，类似的做法，人们还可能选择其他的约束（如来自于地震的波速场、自由振荡频率等），来建立更有效的地球内部场源的统一模型。